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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\title{Funções de Bessel e o Problema da Corda Pendurada}

\author{Daniel Augusto Cortez}

\date{\today}

\maketitle

\section{Introdução. Funções de Bessel de Primeiro Tipo.}

Funções de Bessel de primeiro tipo e de ordem $\nu$, $\nu \in \R_{+}$,
são soluções da seguinte classe de equações diferenciais ordinárias 
%
\begin{equation} \label{eq:edobessel}
x^2 \frac{d^2}{dx^2}y(x) + x \frac{d}{dx}y(x) + 
\left(x^2 - \nu^2\right) y(x) = 0 \, ,
\end{equation} 
%
onde $y:\R \to \R$ é uma função a valores reais, contínua e pelo
menos duas vezes diferenciável. A equaçào acima pode ser resolvida
aplicando-se o chamado Método de Frobeniüs. A idéia consiste, essencialmente, em
supormos que a solução de (\ref{eq:edobessel}) seja dada por uma série de
potências com coeficientes a determinar. Assim, escrevemos uma solução
de (\ref{eq:edobessel}) como
%
\begin{equation} \label{eq:ansatz}
y(x) = \sum_{n=0}^{\infinito} c_n x^{n + \gamma} \, ,
\end{equation}
%
onde $\gamma \in \R$ é um parâmetro a mais a ser determinado junto com
o coeficientes $c_n \in \R$. Como por hipótese (\ref{eq:ansatz}) é solução de
(\ref{eq:edobessel}), fazendo a substituição, obtemos
%
\begin{multline} 
x^2 \left[\sum_{n=0}^{\infinito}(n+\gamma)(n+\gamma-1)c_n
x^{n+\gamma-2}\right]
+ x \left[\sum_{n=0}^{\infinito}(n+\gamma)c_n
x^{n+\gamma-1}\right] \\ + \left(x^2 - \nu^2\right) \left[\sum_{n=0}^{\infinito} c_n
x^{n+\gamma}\right] = 0 \, . \nonumber
\end{multline}
%
Arrumando os termos de forma mais apropriada, temos
%
\begin{equation} 
\sum_{n=0}^{\infinito} \left[(n+\gamma)^2 -
\nu^2 \right] c_n x^{n+\gamma} + \sum_{n=0}^{\infinito} c_n x^{n+\gamma+2}
= 0 \, ,  \nonumber
\end{equation}
%
Tomando agora $m = n+2$ na segunda soma, escrevemos 
%
\begin{equation} 
\sum_{n=0}^{\infinito} \left[(n+\gamma)^2 -
\nu^2 \right] c_n x^{n+\gamma} + \sum_{m=2}^{\infinito} c_{m-2}
x^{m+\gamma} = 0 \, .  \nonumber
\end{equation}
%
Note que as duas somas da última expressão são completamente
independentes. Assim, podemos por $m = n$, o que resulta em
%
\begin{equation} 
\sum_{n=0}^{\infinito} \left[(n+\gamma)^2 -
\nu^2 \right] c_n x^{n+\gamma} + \sum_{n=2}^{\infinito} c_{n-2}
x^{n+\gamma} = 0 \, .   \nonumber
\end{equation}
%
É conveniente agora escrevermos os dois primeiros termos da primeira
soma explicitamente e deixar o resto dos termos apenas sob um
somatório que vai de $n=2$ até o infinito. Com efeito,
%
\begin{equation} 
\left(\gamma^2-\nu^2\right) c_0 x^\gamma + \left[(1+\gamma)^2 -
\nu^2\right] c_1 x^{\gamma+1} + \sum_{n=2}^{\infinito} \left\{
\left[(n+\gamma)^2 - \nu^2\right] c_n + c_{n-2}\right\} x^{n+\gamma} = 0 
\, .  \nonumber 
\end{equation}
%
Colocando em evidênciando o fator $x^\gamma$, para $x \neq 0$, temos
%
\begin{equation} 
\left(\gamma^2-\nu^2\right) c_0 + \left[(1+\gamma)^2 - \nu^2\right] c_1 x
+ \sum_{n=2}^{\infinito} \left\{ \left[(n+\gamma)^2 - \nu^2\right] c_n
+ c_{n-2}\right\} x^{n} = 0 \, .  \nonumber
\end{equation}
%
Essa expressão nos diz que a série do lado esquerdo é identicamente
nula. Logo, todos os seus coeficiente devem se anular. Como
conseqüência, valem as seguintes relações para os coeficientes
$c_n$:
%
\begin{equation} \label{eq:c0}
\left(\gamma^2 - \nu^2\right) c_0 = 0 \, ,
\end{equation}
%
\begin{equation} \label{eq:c1}
\left[(1 + \gamma)^2 - \nu^2\right] c_1 = 0 \, ,
\end{equation} 
%
\begin{equation} \label{eq:cn}
c_n = - \frac{1}{(n+\gamma)^2-\nu^2} \, c_{n-2} \, ,
\end{equation}
%
para $n = 2, 3, \ldots$. Observe agora de (\ref{eq:cn}) que todos os
coeficientes de índice par maior do que zero (i.e., $c_2, c_4, c_6,
\ldots$) são proporcionais à $c_0$. Da mesma forma, os coeficientes de
índice ímpar são proporcionais à $c_1$. Portanto, se tentarmos
satisfazer as relações (\ref{eq:c0}) e (\ref{eq:c1}) fazendo a
escolha ingênua $c_0 = c_1 = 0$, acabaríamos com $c_n = 0$ para todo
$n \in \N$. Obviamente esta é uma solução trivial de
(\ref{eq:edobessel}) a qual não estamos interessados. Por outro
lado, as relações (\ref{eq:c0}) e (\ref{eq:c1}) podem ser satisfeitas
simultâneamente de duas outras maneiras distintas, sem que acabemos
com a solução trivial. Uma delas é tomar $c_1 = 0$ e $\gamma^2 =
\nu^2$. Outra é $c_0 = 0$ e $(\gamma+1)^2 = \nu^2$. Não é difícil perceber que quaquer
uma dessas duas escolhas nos leva à verificação das relações (\ref{eq:c0})
e (\ref{eq:c1}). Vamos considerar, inicialmente, a primeira opção, ou seja
%
\begin{equation} \label{eq:I}
\gamma^2 = \nu^2 \hspace{1cm} \text{e} \hspace{1cm} c_1 = 0 \, .
\end{equation}
%
Uma vez que $c_1$ foi escolhido nulo, de acordo com (\ref{eq:cn}),
todo coeficiente de índice ímpar também deverá ser nulo, i.e.,
%
\begin{equation} \label{eq:impar}
c_{2n+1} = 0 \, ,
\end{equation}
%
para todo $n \in \mathbb{N}$. A condição $\gamma^2 = \nu^2$ nos dá duas
possibilidades para o valor de $\gamma$: 
$\gamma_{+} = \nu$ ou $\gamma_{-} = -\nu$. No primeiro caso, pela
relação (\ref{eq:cn}), teríamos
%
\begin{equation} \label{eq:parmais1}
c_p = - \frac{1}{(p+\gamma_{+})^2 - \nu^2} \, c_{p-2} = - \frac{1}{p^2
+2p\nu} \, c_{p-2}   
\end{equation}
%
para todo $p$ par, $p \geq 0$. Ou seja,
%
\begin{equation} \label{eq:parmais2}
c_{2n} = -\frac{1}{4n^2 + 4n\nu} \, c_{2(n-1)} = -\frac{1}{2^2 n(n +
\nu)} \, c_{2(n-1)} \, ,
\end{equation}
%
para todo $n \in \mathbb{N}$. Por outro lado, quando $\gamma = \gamma_{-} =
- \nu$, segue também de (\ref{eq:cn}) que
%
\begin{equation} \label{eq:parmenos1}
c_p = - \frac{1}{(p+\gamma_{-})^2 - \nu^2} \, c_{p-2} = - \frac{1}{p^2
- 2p\nu} \, c_{p-2}   
\end{equation}
%
para todo $p$ par, $p \geq 0$. Quer dizer,
%
\begin{equation} \label{eq:parmenos2}
c_{2n} = -\frac{1}{4n^2 - 4n\nu} \, c_{2(n-1)} = -\frac{1}{2^2 n(n -
\nu)} \, c_{2(n-1)} \, ,
\end{equation}
%
para todo $n \in \mathbb{N}$.

As expressões (\ref{eq:parmais2}) e (\ref{eq:parmenos2}) nos dão, de
forma recursiva, os coeficientes de índice par da expansão
(\ref{eq:ansatz}) sugerida como solução de
(\ref{eq:edobessel}). Lembremos que os coeficientes de índice ímpar são
todos nulos devido à escolha (\ref{eq:I}). Observe agora que como 
$\nu \in \R_{+}$ e $n \in \mathbb{N}$, a expressão
(\ref{eq:parmenos2}) é inconveniente quando $\nu$ for igual à algum
inteiro positivo. De fato, suponha, por exemplo, que $\nu = q$, onde
$q \in \mathbb{N}$. Então, o coeficente $c_{2q}$ não estaria bem
definido, pois, de acordo com (\ref{eq:parmenos2}), teríamos
uma divisão por zero. Isso, entretanto, nunca ocorre com a expressão
(\ref{eq:parmais2}) como pode ser notado claramente. A solução
encontrada para $\gamma = \gamma_{-} = -\nu$ é, portanto, problemática
quando $\nu$ for algum número inteiro positivo. Caso contrário ($\nu$
não inteiro), as expressões (\ref{eq:parmais2}) e (\ref{eq:parmenos2})
fornecem duas soluções linearmente independentes da equação (\ref{eq:edobessel}).

A solução das equações (\ref{eq:c0}), (\ref{eq:c1}) e
(\ref{eq:cn}) foi obtida mediante a escolha
(\ref{eq:I}). Entretanto, também poderíamos ter escolhido
%
\begin{equation} \label{eq:II}
(\gamma+1)^2 = \nu^2 \hspace{1cm} \text{e} \hspace{1cm} c_0 = 0 
\end{equation} 
%
para resolver o problema. Deixamos para o leitor verificar que a
escolha acima leva exatamente à mesma solução que a obtida no caso
anterior. Portanto, as escolhas (\ref{eq:I}) e (\ref{eq:II}) são
equivalentes.

Vamos estudar melhor a solução obtida em (\ref{eq:parmais2}). Note que quando $\nu$
não for um inteiro positivo, os coeficientes em (\ref{eq:parmenos2})
são obtidos dos coeficientes em (\ref{eq:parmais2}) pela substituição
$\nu \rightarrow -\nu$. Dessa forma, analisaremos apenas a solução
referente aos coeficientes em (\ref{eq:parmais2}). Como $c_i = 0$ para
todo $i$ ímpar, uma solução de (\ref{eq:edobessel}) pode ser escrita como
%
\begin{equation} \label{eq:solucao}
y(x) = \sum_{n=0}^{\infinito} c_{2n} x^{2n + \gamma} \, ,
\end{equation}
%
onde, como vimos, $\gamma = \nu$ e $c_{2n}$ é dado por
(\ref{eq:parmais2}), para todo $n \in \mathbb{N}$.
Vamos mostrar por indução em $n$ que 
%
\begin{equation} \label{eq:rec}
c_{2n} = \frac{\displaystyle (-1)^n}{\displaystyle 2^{2n} \, n! \, 
\prod_{r=0}^{n-1} (n+\nu - r)} \, c_0
\end{equation}
%
Primeiramente notemos que para $n=1$ a relação é trivialmente verificada.
De fato, pondo $n=1$ em (\ref{eq:rec}), temos
%
\begin{equation} 
c_{2} = - \frac{1}{\displaystyle 2^{2} (1 + \nu)} \, c_0 \, ,
\end{equation}
%
exatamente como em (\ref{eq:parmais2}). Suponha agora, como
hipótese de indução, que
%
\begin{equation} \label{eq:ind}
c_{2(n-1)} = \frac{\displaystyle (-1)^{(n-1)}}{\displaystyle 2^{2(n-1)} \, (n-1)! \, 
\prod_{r=0}^{n-2} (n - 1 +\nu - r)} \, c_0 
\end{equation}
% 
e vamos mostrar (\ref{eq:rec}). Pelas relações (\ref{eq:parmais2}) e
(\ref{eq:ind}), segue que
%
\begin{eqnarray}
c_{2n} = -\frac{1}{2^2 n(n + \nu)}
c_{2(n-1)} &=& 
\frac{\displaystyle (-1)^{(n-1)}}{\displaystyle 2^2 \, n \, (n + \nu)
\, 2^{2(n-1)} \, (n-1)! \, 
\prod_{r=0}^{n-2} (n - 1 +\nu - r)} \, c_0 \nonumber \\ 
&=& \frac{\displaystyle (-1)^n}{\displaystyle 2^{2n} \, n! \, 
\prod_{r=0}^{n-1} (n+\nu - r)} \, c_0 \, ,  \nonumber
\end{eqnarray} 
%
como queríamos demonstrar.

Com a expressão (\ref{eq:rec}) em mãos, podemos expressar todos os coeficientes
$c_{2n}$ de uma forma muito mais elegante, escrevendo-os apenas em
termos do coeficiente $c_0$, do parâmetro $\nu$ 
e da ordem $n$. Com efeito,
%
\begin{equation} \label{eq:solfeia}
y(x) = \left(\sum_{n=0}^{\infinito} \, \frac{\displaystyle
(-1)^n}{\displaystyle 2^{2n} \, n! \,
\prod_{r=0}^{n-1} (n+\nu-r)} \, x^{2n+\nu} \right) \, c_0 \, .
\end{equation}

A expressão anterior é uma solução da equação diferencial ordinária de
segunda ordem (\ref{eq:edobessel}). Gostaríamos de frizar que, como
série de potências, a solução acima faz sentido. De fato, o fator
$\displaystyle 2^{(2n)} \, n! \, \prod_{r=0}^{n-1} (n+\nu-r)$ no
denominador dos coeficientes da série faz a mesma convergir
rapidamente (a convergência é uniformemente!) para todos os valores de
$x$. Note que apenas o termo fatorial no denominador já seria
suficiente para garantir a convergência uniforme da série. Esse é o
caso, por exemplo, da função exponencial
%
\begin{equation}
e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 +
\ldots  \nonumber
\end{equation}


No caso onde $\nu$ não é um parâmetro inteiro, temos uma outra solução
da equação (\ref{eq:edobessel}) que é obtida de (\ref{eq:solfeia})
pela substituição $\nu \rightarrow -\nu$. Essas duas soluções são
linearmente independentes e constituem uma base à solução geral de
(\ref{eq:edobessel}) ($\nu$ não inteiro!), a qual pode ser escrita como  
%
\begin{multline} \label{eq:solfeiafinal}
y(x) = A \, \left(\sum_{n=0}^{\infinito} \, \frac{\displaystyle
(-1)^n}{\displaystyle 2^{(2n)} \, n! \,
\prod_{r=0}^{n-1} (n+\nu-r)} \, x^{2n+\nu} \right) \\+ B \,  
\left(\sum_{n=0}^{\infinito} \, \frac{\displaystyle
(-1)^n}{\displaystyle 2^{(2n)} \, n! \,
\prod_{r=0}^{n-1} (n-\nu-r)} \, x^{2n-\nu} \right) \, ,
\end{multline}
%
onde $A$ e $B$ são constantes arbitrárias.

Para terminar esta seção, vamos reescrever a solução
(\ref{eq:solfeia}) de uma forma mais conveniente, de forma que possamos
identificá-la com a chamada função de Bessel de ordem $\nu$ conhecida
da literatura. Lembremos, inicialmente, da definição da função $\Gamma$:
%
\begin{equation} \label{eq:gamma}
\Gamma(x) :=  \int_0^\infinito e^{-t} t^{x-1} \, dt \, .
\end{equation}
%
Essa função exibe a importante propriedade de que
%
\begin{equation} \label{eq:gammaprop}
\Gamma(x+1) = x\Gamma(x) \, ,
\end{equation}
%
para todo $x \in \R$. A demonstração desse fato pode ser feito
mediante uma integração por partes em (\ref{eq:gamma}). Omitiremos os
detalhes. Observe agora que
%
\begin{equation}
\Gamma(n+\nu+1) = (n+\nu)\Gamma(n+\nu) = \left[\prod_{r=0}^{n-1}
(n+\nu -m)\right] \, \Gamma(\nu + 1) \, ,  \nonumber
\end{equation}
%
como conseqüência imediata da propriedade (\ref{eq:gammaprop}). Dessa
forma, reescrevemos a solução $y(x)$ dada em (\ref{eq:solfeia}) como 
%
\begin{equation} \label{eq:solmedio}
y(x) = \left(\sum_{n=0}^{\infinito} \, \frac{\displaystyle
(-1)^n}{\displaystyle 2^{2n+\nu} \, n! \,
\Gamma(n+\nu+1)} \, x^{2n+\nu} \right) \, 2^\nu \Gamma(\nu+1) \, c_0 \, .
\end{equation}
%
Já que $2^\nu \Gamma(\nu+1) \, c_0$ é uma constante (não depende nem
de $n$ e nem de $x$), podemos expressar $y(x)$ como
%
\begin{equation} \label{eq:solanalitica}
y(x) = c \, J_{\nu}(x) \, , 
\end{equation}
%
onde $c$ é uma constante e
%
\begin{equation} \label{eq:besselnu}
J_{\nu}(x) := \sum_{n=0}^{\infinito} \, \frac{\displaystyle
(-1)^n}{\displaystyle 2^{2n+\nu} \, n! \,
\Gamma(n+\nu+1)} \, x^{2n+\nu}
\end{equation}
%
é a camada {\it Função de Bessel de primeiro tipo e ordem
$\nu$}. Portanto, no caso em que $\nu$ não é um número inteiro
positivo, podemos escrever a solução mais geral da equação
(\ref{eq:edobessel}) como
%
\begin{equation} \label{eq:solgeral}
y(x) = c_{+} \, J_{\nu}(x) + c_{-} \, J_{-\nu}(x) \, ,
\end{equation}
%
onde $c_{+}$ e $c_{-}$ são constantes arbitrárias. Funções de Bessel
de primeiro tipo e ordem $\pm\nu$, $\nu$ não inteiro, constituem,
portanto, uma base para o espaço de soluções da equação diferencial
(\ref{eq:edobessel}). Por outro lado, quando $\nu$ for um inteiro,
temos apenas uma solução bem definida, a saber aquela dada por
(\ref{eq:solanalitica}) e (\ref{eq:besselnu}). Uma outra solução,
linearmente independente a essa, envolve uma função não-analítica em torno
da origem (singular) a qual não pode ser expressa em forma de uma
série de potências como em (\ref{eq:ansatz}). Essa solução singular (no
caso $\nu$ inteiro) é conhecida como {\it função de Bessel de segundo tipo
e ordem $\nu$}, ou {\it função de Neuman de ordem $\nu$}.
 
Estaremos, a seguir, estudando uma aplicação simples em física na qual nos
deparamos com o problema de resolver uma equação diferencial do tipo da
(\ref{eq:edobessel}). Para isso, escreveremos nossa solução em termos
das funções de Bessel introduzidas aqui.
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\zerarcounters
\section{O Problema da Corda Pendurada.}

Considere uma corda de seção tranversal constante e densidade linear
de massa igual à $\rho$, também constante. Suponha que essa corda
tenha comprimento $L$ e que uma das extremidades da mesma esteja fixada em 
um dado ponto do espaço. A corda assim descrita estará sujeita a ação de
seu próprio peso devido à aceleração da gravidade local.
Suponha conhecida a posição e a velocidade de todos os pontos da corda em 
um dado instante de tempo inicial $t_0 = 0$. Nessas condições, gostaríamos
de descrever o movimento da corda para $t > t_0$. Como veremos a seguir,
esse é um problema cuja solução envolve as funções de Bessel discutidas
anteriormente.  

O problema da corda pendurada pode ser colocado de forma matematicamente
precisa da seguinte forma: Seja $u(x, t)$ a função que descreve o perfil da
corda no instante de tempo $t$, ou seja, $u$ dá o deslocamento do ponto $x$
da corda no instante $t$. Suponha que a corda esteja presa em $x = L$ (vide
figura~\ref{fig:corda}). Nesse caso, devemos impor a seguinte consdição 
sob a função $u$:
%
\begin{equation} \label{eq:ccL}
u(L, t) = 0 \, , \qquad \forall t \in \R_{+} \, .
\end{equation}
%
A outra extremidade da corda (o ponto $x = 0$) está livre para oscilar. 
Conseqüêntemente, é razoável impormos que o deslocamento $u$ da corda 
nesse ponto seja finito, isto é
%
\begin{equation} \label{eq:cc0}
u(0, t) < \infinito \, , \qquad \forall t \in \R_{+} \, .
\end{equation}

As relações (\ref{eq:ccL}) e (\ref{eq:cc0}) escritas acima prescrevem
as chamadas {\it condições de contorno} do problema da corda pendurada.

\begin{figure}[!ht]
\centering{\epsfig{figure = corda.eps, scale=0.8}
%\vskip0.15cm 
\caption{Desenho esquemático da corda pendurada.}
\label{fig:corda}}
\end{figure} 

Conforme já havíamos mencionado, vamos também supor conhecidas a posição e
a velocidade inicial de todos os pontos da corda, ou seja, são nos dadas
funções $u_0(x)$ e $v_0(x)$ tais que
%
\begin{equation} \label{eq:ciu}
u(x, 0) = u_0(x) \, , \qquad \forall x \in [0, L]
\end{equation}
%
e
%
\begin{equation} \label{eq:civ}
\frac{\del u}{\del t} (x, 0) = v_0(x) \, , \qquad \forall x \in
[0, L] \, .
\end{equation}
%
%
Essas são as {\it condições iniciais} do problema.

Como é bem sabido, o movimento de uma corda vibrante, do tipo considerada 
aqui, é regido pela seguinte equação diferencial parcial:
%
\begin{equation} \label{eq:edp}
\frac{\del^2 u}{\del t^2}(x, t) = \frac{\del}{\del 
x}\left(T(x)\frac{\del u}{\del x}(x, t)\right) \, ,
\end{equation}
%
onde $T(x)$ representa a força de tração aplicada na corda sob o seu 
ponto de coordenada $x$ (confira figura~\ref{fig:corda}). 
A única força que age sobre a corda pendurada é o seu peso, logo
%
%
\begin{equation}
T(x) = \int_0^x \rho g \, dy = \rho g x \, ,  \nonumber
\end{equation}
%
%
sendo $g$ a aceleração da gravidade. Substituindo $T(x)$ em (\ref{eq:edp}), temos 
%
%
\begin{equation} \label{eq:edpT}
\frac{\del^2 u}{\del t^2}(x, t) = \rho g \frac{\del}{\del x}
\left(x \frac{\del u}{\del x }(x, t)\right) \, . 
\end{equation} 
%
%
A equação diferencia parcial acima pode ser facilmente resolvida pelo
método de separação de variáveis. Assim, ecrevendo
%
%
\begin{equation}
u(x, t) = X(x) T(t) \, ,  \nonumber
\end{equation}
%
%
resulta que
%
%
\begin{equation}
\frac{\ddot{T}}{T} = \rho g \left(\frac{X^\prime}{X} + x
\frac{X^{\prime\prime}}{X} \right) \, ,  \nonumber
\end{equation}
%
%
onde o ponto denota derivada temporal e a linha derivada espacial. Como o
lado esquerdo da última relação só depende do tempo e o lado direito só
depende da posição, ambos devem ser necessariamente iguais a uma
constante. Como veremos, essa constante deve ser negativa. Assim, 
%
%
\begin{equation}
\frac{\ddot{T}}{T} = \rho g \left(\frac{X^\prime}{X} + x
\frac{X^{\prime\prime}}{X} \right)  = - \omega^2 \, ,  \nonumber
\end{equation}
%
%
onde $\omega$ é uma constante real. A equação para a parte temporal fica
%
%
\begin{equation}
\ddot{T} + \omega^2 T = 0 \, ,  \nonumber
\end{equation}
%
%
cuja bem conhecida solução é
%
%
\begin{equation} \label{eq:Tt}
T(t) = A \cos{(\omega t)} + B \sen{(\omega t)}\, , 
\end{equation}
%
%
onde $A$ e $B$ são duas constantes arbitrárias.
Vale a pena observar que se a constante de separação de variáveis 
$-\omega^2$ fosse positiva, isto é, $+\omega^2$, então a solução para 
$T(t)$ seria exponencialmente crescente ou decrescente, violando a 
conservação de energia mecânica da corda.

Vamos agora nos concentrar em resolver a parte espacial. A equação para
$X(x)$ pode ser escrita como
%
%
\begin{equation} \label{eq:Xx}
\rho g (x X^\prime)^\prime + \omega^2 X = 0 \, .
\end{equation}
%
%
e deve ser tal que $X(0) < \infty$ e $X(L) = 0$ devido às condições de
contorno. Fazendo a mudança de variável
%
%
\begin{equation}
y = 2 \omega \sqrt{\frac{x}{\rho g}} \, ,  \nonumber
\end{equation}
%
%
podemos reescrever (\ref{eq:Xx}) como
%
%
\begin{equation} \label{eq:Xtil}
y^2 \til{X}^{\prime\prime}(y) + y \til{X}^\prime(y) + 
y^2 \til{X}(y) = 0 \, , 
\end{equation}
%
%
onde $\til{X}(y) = X(x) = $ e a linha agora denota derivação com relação à 
$y$. A equação diferencial (\ref{eq:Xtil}) é idêntica à
(\ref{eq:edobessel}) para $\nu = 0$. Como sabemos, a solução de tal equação
é composta pela função de Bessel de ordem zero $J_0(y)$ e uma função de
Neuman que é singular na origem (note que $\nu = 0$ corresponde a um caso
onde $\nu$ é inteiro). Entretanto, devido à condição de contorno $X(0) <
\infty$, devemos excluir essa função singular da solução do
problema. Portanto,
%
%
\begin{equation} \label{eq:XxJ}
X(x) = \til{X}(y) = C J_0(y) = C J_0\left(2\omega \sqrt{\frac{x}{\rho g}}
\right) \, ,
\end{equation} 
%
%
onde $C$ é uma constante arbitrária. Resta ainda impormos à solução acima a
condição de contorno de extremo fixo $X(L) = 0$. Essa condição impoem
restrições sobre os valores de $\omega$. De fato,
%
%
\begin{equation} \label{eq:omegak}
X(L) = 0 \quad \Rightarrow \quad J_0\left(2\omega \sqrt{\frac{L}{\rho g}}
\right) = 0 \quad \Rightarrow \quad \omega_k = \frac{z_{0,
k}}{2}\sqrt{\frac{\rho g}{L}} \, , \quad k = 1, 2, \ldots \, ,
\end{equation} 
%
%
onde $z_{0, k}$ representa o $k$-ésimo zero positivo de $J_0$. Os
diferentes modos de vibração da corda são descritos pelas freqüências
$\omega_k$. O movimento da corda no $k$-ésimo modo de vibração é dado por
(\ref{eq:Tt}) e (\ref{eq:XxJ}) com $\omega$ substituido por $\omega_k$ como
em (\ref{eq:omegak}). Assim,
%
%
\begin{equation} 
u_k(x, t) = J_0\left(z_{0, k} \sqrt{\frac{x}{L}}\right) \left[ A_k
\cos\left( \frac{z_{0, k}}{2}\sqrt{\frac{\rho g}{L}} t \right) 
+ B_k \sen\left( \frac{z_{0, k}}{2}\sqrt{\frac{\rho g}{L}} t \right) 
\right] \, ,  \nonumber
\end{equation}
%
%
onde $A_k$ e $B_k$ são constantes arbitrárias. O movimento mais geral da
corda é obtido pela superposição de seus modos normais de vibração. Assim,
a solução mais geral da equação (\ref{eq:edpT}) com as condições de
contorno estabelecidas é
%
%
\begin{equation} \label{eq:solucaou}
u(x, t) = \sum_{k = 1}^{\infty} J_0\left(z_{0, k} \sqrt{\frac{x}{L}}\right)
\left[ A_k \cos\left( \frac{z_{0, k}}{2}\sqrt{\frac{\rho g}{L}} t \right) 
+ B_k \sen\left( \frac{z_{0, k}}{2}\sqrt{\frac{\rho g}{L}} t \right) 
\right] \, .  
\end{equation}
%
%
Note que a corda descreve um movimento quase-periódico no
tempo. Entretanto, cada modo normal isoladamente tem um período bem 
definido, a saber
%
%
\begin{equation}
T_{\omega_k} = \frac{2\pi}{\omega_k} =
\frac{4\pi}{z_{0,k}}\sqrt{\frac{L}{\rho g}} \, .  \nonumber
\end{equation}

Resta agora impormos as condições iniciais (\ref{eq:ciu}) e (\ref{eq:civ})
à solução (\ref{eq:solucaou}). Isso pode ser feito usando a seguinte
relação de ortogonalidade entre as funções de Bessel:
%
%
\begin{equation}
\int_0^1 r J_m(z_{m, k} r) J_m(z_{m, \ell} r) \, dr = \delta_{k, \ell} 
\left(J_{m+1}(z_{m, k})\right)^2 \, ,  \nonumber
\end{equation} 
%
%
onde $z_{m, k}$ é o $k$-ésimo zero da função de Bessel $J_m$. Fazendo $r =
\sqrt{x / L}$ na integral acima e especializando para $m = 1$, temos
%
%
\begin{equation} \label{eq:ort}
\int_0^L J_0\left(z_{0, k} \sqrt{\frac{x}{L}} \right) 
J_0\left(z_{0, \ell} \sqrt{\frac{x}{L}} \right) \, dx = 2 L 
\delta_{k, \ell} \left(J_{1}(z_{0, k})\right)^2 \, ,
\end{equation}
%
%
No instante de tempo $t = 0$, $u(x, t)$ em (\ref{eq:solucaou}) se
reduz à
%
%
\begin{equation}
u(x, 0) = \sum_{k = 1}^{\infty} J_0\left(z_{0, k} \sqrt{\frac{x}{L}}\right)
A_k \, ,  \nonumber
\end{equation}
%
%
que, de acordo com (\ref{eq:ciu}), deve ser igual à $u_0(x)$. Multiplicando
ambos os lados por $J_0\left(z_{0, \ell} \sqrt{x/L} \right)$,
integrando em $x$ de $0$ à $L$ e usando a relação de ortogonalidade
(\ref{eq:ort}), achamos 
%
%
\begin{equation} \label{eq:Aell}
A_\ell = \frac{1}{2 \,L \, (J_1(z_{0, \ell}))^2}\int_0^L u_0(x) 
J_0\left(z_{0, \ell} \sqrt{\frac{x}{L}} \right) \, dx \, .
\end{equation} 
%
%
Essa expressão fixa o valor de todas as constantes $A_k$ em
(\ref{eq:solucaou}) para que a condição inicial $u(x, 0) = u_0(x)$ seja
satisfeita. Devemos ainda fixar as constantes $B_k$. Isso é feito a partir
da outra condição inicial, isto é, (\ref{eq:civ}). Primeiramente, derivamos
$u(x, t)$ com relação ao tempo:
%
%
\begin{equation}
\frac{\del u}{\del t}(x, t) =
\sum_{k = 1}^{\infty} J_0\left(z_{0, k} \sqrt{\frac{x}{L}}\right)
\frac{z_{0, k}}{2}\sqrt{\frac{\rho g}{L}}
\left[- A_k \sen \left( \frac{z_{0, k}}{2}\sqrt{\frac{\rho g}{L}} t \right) 
+ B_k \cos\left( \frac{z_{0, k}}{2}\sqrt{\frac{\rho g}{L}} t \right) 
\right] \, .  \nonumber
\end{equation} 
%
%
Para $t = 0$, temos
%
%
\begin{equation}
\frac{\del u}{\del t}(x, 0) = v_0(x) =
\sum_{k = 1}^{\infty} J_0\left(z_{0, k} \sqrt{\frac{x}{L}}\right)
\frac{z_{0, k}}{2}\sqrt{\frac{\rho g}{L}}
B_k \, .  \nonumber
\end{equation}
%
%
Usando, novamente, a relação de ortogonalidade (\ref{eq:ort}), podemos
inverter a relação acima e escrever cada constante $B_\ell$ como
%
%
\begin{equation} \label{eq:Bell}
B_\ell =  \frac{1}{L \, z_{0,\ell} \, (J_1(z_{0, \ell}))^2} 
\sqrt{\frac{L}{\rho g}}  \int_0^L v_0(x) 
J_0\left(z_{0, \ell} \sqrt{\frac{x}{L}} \right) \, dx \, .
\end{equation}
%
%
A solução final da equação (\ref{eq:edpT}) satisfazendo tanto as condições
de contorno quanto as condições iniciais é finalmente obtida substituindo 
os coeficientes $A_\ell$ e $B_\ell$ obtidos em (\ref{eq:Aell}) e 
(\ref{eq:Bell}) na expressão (\ref{eq:solucaou}) para $u(x, t)$. Com
efeito, trocando a ordem da soma com a integral, podemos escrever
%
%
\begin{eqnarray}
u(x, t) = 
\frac{1}{2 L (J_1(z_{0, \ell}))^2}\int_0^L dx^\prime \left[
\sum_{k=1}^{\infty} J_0\left(z_{0, \ell} \sqrt{\frac{x^\prime}{L}} 
\right)  J_0\left(z_{0, k} \sqrt{\frac{x}{L}} 
\right) \cos\left( \frac{z_{0, k}}{2}\sqrt{\frac{\rho g}{L}} t \right) 
\right] u_0(x) 
\nonumber \\
+ \; \frac{1}{L \, z_{0,\ell} \, (J_1(z_{0, \ell}))^2} 
\sqrt{\frac{L}{\rho g}}  \int_0^L dx^\prime \left[
\sum_{k=1}^{\infty} J_0\left(z_{0, \ell} \sqrt{\frac{x^\prime}{L}} 
\right)  J_0\left(z_{0, k} \sqrt{\frac{x}{L}} 
\right) \sen\left( \frac{z_{0, k}}{2}\sqrt{\frac{\rho g}{L}} t \right) 
\right] v_0(x) ,
\nonumber   
\end{eqnarray}
%
%
que é o resultado desejado.

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%\zerarcounters
%\section{Animações.}

%\section{O Problema da Membrana Ciurcular.}

\end{document}
